功等于力与物体在力的方向上通过距离的乘积。
对于一移动的物体而言,作功量/时间可以从距离/时间(即速度V)来计算。因此,在任何时刻,力所作的功率(焦耳/秒、瓦),其值为力的标量积(矢量)和作用点上的速度矢量。力的标量积和速度被归类为瞬时功率。 而正如速度可能会随着时间的推移以获得更长的距离,同一条路径上的总功率也同样是作用点沿着同一条路径上之瞬时功率的时间积分的总和。
功是指质点受外力作用位移而产生的量,当质点移动时,它沿着曲线X和速度V在所有的时间t。少量的功W发生在瞬时时间t能够写成:
其中F.v是在t内的瞬时功率,这些少量功的总合超过该质点运动位移所产生的功量。
其中C的位移是从x(t1)到x(t2),计算质点位移的积分。
如果力的方向总是沿着这条线,力的大小为F,那么此积分可简化为:
其中s是沿着直线的位移,假设F固定,且沿着此直线,则此积分可进一步简化成:
其中d是质点沿着直线前进的距离。
此计算可归纳为恒定力并非延著线而是沿着质点。在此情况下点的乘积F·,其中θ是力矢量和运动方向之间的角度。即: 一般常见的情况,施加的力和速度矢量对身体成90角(中央力朝下身体绕一圆圈运动),由于为0,所以不作功。因此可以延伸至重力对于星球在圆形轨道上运动不作功(此为理想情况,一般情况下轨道略呈椭圆形)。 此外身体作一等速圆周运动受到机械外力作用时,作的功也为0,就像在一理想情况之无摩擦力的离心机中作等速圆周运动一般。 计算功在时间和力作用在一直线路径上的数值只适用在最简单的情况下,如上文所述。如果力会变化,或身体延曲线方向移动,物体可能转动甚至并非刚性物体,那么其所作的功只和作用力的角度、路径有关,并且只有部分的力平行在作用点上形成的速度才作功(相同方向为正,反方向为负值),此处的力可以被描述为标量或是切线分量的标量。(,其中θ是力和速度之间的夹角)。 至于功最普遍的定义如下:力所的功是其延著作用点上的路径之切线分量的标量也就是线性积分。
转矩是从相等但方向相反的力作用于刚性体上两个不同的点所形成。这些力总合为零,但它会对物体影响形成转矩Τ,计算作功形成的转矩公式为:
,其中T.ω是作用在时间点t上。这些少量的功之合大于刚性体运动轨迹所产生的功。
,此积分是计算刚体延轨迹运动与时间变化的角速度ω,可以说与运动的路径息息相关。 如果角速度矢量保持恒定的方向,那么可以写成:
,其中φ为转动角度,单位矢量S。在此情况下,功的转矩可写成:
,其中C是从φ(t1)到φ(t2)的运动轨迹。此积分取决于φ(t)的值,因此与路径相关。
如果转矩T与角速度矢量一致,那么可写成:
而且若转矩和角速度是恒定的,那么功可写成这个形式:
Aforceofconstantmagnitudeandperpendiculartotheleverarm
此结果可以更简单的理解,如图所示。这股力将通过圆弧的距离,所作的功即是: 以上,请注意只有转矩在角速度矢量方向的部分才有作功。
力与位移
力与位移都是矢量。功是力与位移的内积,为标量。
(1)
其中是力矢量和位移矢量的夹角。
为使此式正确,力须为常矢量,路径须为一条直线。
如力随时间变化或路径不为直线,上式不再适用,此时需使用曲线积分。故功的一般公式为:
(2)
其中
是路径;
力矩
力矩所做功可由下式计算得到:
其中为力矩。