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反函数
适用于解析几何学等的函数
定义
设函数
的定义域是D，值域是f(D)。如果对于值域f(D)中的每一个y，在D中有且只有一个x使得
，则按此对应法则得到了一个定义在f(D)上的函数，并把该函数称为函数的反函数，记为
由该定义可以很快得出函数f的定义域D和值域f(D)恰好就是反函数
的值域和定义域，并且的反函数就是f，也就是说，函数f和互为反函数，即：
例如，函数
的反函数是
。
相对于反函数
来说，原来的函数称为直接函数。反函数和直接函数的图像关于直线
对称。这是因为，如果设(a,b)是的图像上任意一点，即
。根据反函数的定义，有
，即点(b,a)在反函数的图像上。而点(a,b)和(b,a)关于直线对称，由(a,b)的任意性可知f和关于对称。
于是我们可以知道，如果两个函数的图像关于对称，那么这两个函数互为反函数。这也可以看做是反函数的一个几何定义。
若一函数有反函数，此函数便称为可逆的（invertible）。
存在性
反函数存在定理
定理：严格单调函数必定有严格单调的反函数，并且二者单调性相同。
在证明这个定理之前先介绍函数的严格单调性。
设的定义域为D，值域为f(D)。如果对D中任意两点
和
，当 
时，有 
，则称在D上严格单调递增；当时，有
，则称在D上严格单调递减。
证明：设f在D上严格单增，对任一
，有
而由于f的严格单增性，对D中任一
；任一
总之能使的x只有一个，根据反函数的定义，f存在反函数。
任取f(D)中的两点
和
，设<。而因为f存在反函数，所以有 
， 
，且 
。
若此时 
，根据f的严格单增性，有
，这和我们假设的
矛盾。
因此 ，即当
时，有
。这就证明了反函数f也是严格单增的。
如果f在D上严格单减，证明类似。
性质
反函数的符号
反函数的反函数
为了好看以及对比，我有时会把f(x)写成f对比，我把我想各位应该很好理解，反函数的反函数当然就是原函数，写成数学语言就是
。看看，这是不是有点像指数的运算法则：
呢？
反函数的导函数
如果函数
在区间Iy内单调、可导且
不等于零，则它的反函数在区间
内也可导，且
或
。
用自然语言来说就是，反函数的导数，等于直接函数导数的倒数。这话有点绕，不过应该能读懂，这个似乎就进一步揭示了反函数符号的意义。
反函数的复合函数
数字的基本运算就是加减乘除，而函数也有运算，虽然也有加减乘除，但是属于函数自己的，就是复合与反函数。我们知道在实数里，x与
的乘积等于1，在函数的复合运算里，也有类似的性质，函数f和g的复合记为
，那么下面的性质成立：
。
这第一个式子已经说明很多问题。实际上，这些都是属于高等代数的内容，在每一个封闭的系统里，都有一个“单位1”，都有自己的运算法则，函数里的就是
，实数里的就是数字1等等。要深刻理解这些，也只有大家接触群论以后才会深入理解。这里也只是做点皮毛而已。我将在后面另起一文，介绍函数的“幂”的概念，就如同数的幂一样。
说明
（1）在函数
中，y是自变量，x是函数，但习惯上，我们一般用x表示自变量，用y 表示函数，为此我们常常对调函数中的字母x,y，把它改写成，今后凡无特别说明，函数的反函数都采用这种经过改写的形式。
⑵反函数也是函数，因为它符合函数的定义. 从反函数的定义可知，对于任意一个函数来说，不一定有反函数，若函数有反函数，那么函数的反函数就是，这就是说，函数与 互为反函数。
⑷ 从映射的定义可知，函数是定义域A到值域C的映射，而它的反函数
是集合C到集合A的映射，因此，函数的定义域正好是它的反函数的值域；函数的值域正好是它的反函数的定义域（如下表）：
函数：；
反函数：；
定义域： A，C；
值域： C，A；
⑷上述定义用“逆”映射概念可叙述为：
若确定函数的映射f是函数的定义域到值域上的“一一映射”，那么由f的“逆”映射所确定的函数(就叫做函数y=f(x)的反函数. 反函数的定义域、值域分别对应原函数的值域、定义域.。开始的两个例子：
则它的反函数就可以写为
，同样
记为
，则它的反函数为：
.
有时是反函数需要进行分类讨论，如：
，需将x进行分类讨论：在x大于0时的情况，x小于0的情况，多是要注意的。
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