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判别式（判断方程实根个数的公式）

次浏览 | 更新时间：2023-05-22

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判别式

判断方程实根个数的公式

根的判别式是判断方程实根个数的公式，在解题时应用十分广泛，涉及到解系数的取值范围、判断方程根的个数及分布情况等。一元二次方程ax+bx+c=0（a≠0）的根的判别式是b-4ac，用“△”表示(读做“delta”)。

基本信息

中文名	判别式
外文名	discriminant
拼音	pàn bié shì
定义	判定方程实根个数的公式
功能	判定方程根
包括	一元一次等
所属科目	数学

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定义

判别式即判定方程实根个数及分布情况的公式。

一元二次方程

任意一个一元二次方程

均可配成

，因为a≠0，由平方根的意义可知，

的符号可决定一元二次方程根的情况．

叫做一元二次方程

的根的判别式，用“

”表示(读做“delta”)，即

．

根的情况

方程系数为实数

在一元二次方程

中

（1）当

时，方程有两个不相等的实数根；

（2）当

时，方程有两个相等的实数根；

（3）当

时，方程没有实数根，方程有两个共轭虚根．

（1）和（2）合起来：当

时，方程有实数根．

上面结论反过来也成立，可以具体表示为：

在一元二次方程

（

）中，

①当方程有两个不相等的实数根时，

；

②当方程有两个相等的实数根时，

；

③当方程没有实数根时，

。

（1）和（2）合起来：当方程有实数根时，

．

注意根的判别式是

，而不是

。

一元二次方程求根公式：

当

≥0时，

，

当

时，

;

当

<0时，

(i是虚数单位)

方程系数为虚数

在一元二次方程

（a、b、c是虚数）中

当

时，此方程有两个相等的复根；

当

时，此方程有两个不等的复根。

应用

（1）解方程，判别一元二次方程根的情况．

它有两种不同层次的类型：

①系数都为数字；

②系数中含有字母；

③系数中的字母人为地给出了一定的条件．

（2）根据一元二次方程根的情况，确定方程中字母的取值范围或字母间关系．

（3）应用判别式证明方程根的情况（有实根、无实根、有两不等实根、有两相等实根）

应用

① 解一元二次方程，判断根的情况。

② 根据方程根的情况，确定待定系数的取值范围。

③ 证明字母系数方程有实数根或无实数根。

④ 应用根的判别式判断三角形的形状。

⑤ 判断当字母的值为何值时，二次三项是完全平方式

⑥ 可以判断抛物线与直线有无公共点

联立方程。

⑦ 可以判断抛物线与x轴有几个交点

抛物线

与x轴的交点（1）当

时，即有

，要求x的值，需解一元二次方程

。可见，抛物线

与x轴的交点的个数是由对应的一元二次方程

的根的情况确定的，而决定一元二次方程

的根的情况的，是它的判别式的符号，因此抛物线与x轴的交点有如下三种情形：

1）当

时，抛物线与x轴有两个交点，若此时一元二次方程

的两根为

，则抛物线与x轴的两个交点坐标为

。

2）当

时，抛物线与x轴有唯一交点，此时的交点就是抛物线的顶点，其坐标是（

，0）。

3）当

时，抛物线与x轴没有交点。

⑧ 利用根的判别式解有关抛物线

与x轴两交点间的距离的问题。

⑨当

时，抛物线开口向上，当

时，抛物线开口向下。

一元三次方程

在特殊形式的一元三次方程

中，其判别式为

。当

时，有一个实根和两个复根；

时，有三个实根，当

时，有一个三重零根，

时，三个实根中有两个相等；

时，有三个不等实根。

在一般形式的一元三次方程

中，一般采用盛金判别法，即

令

当

时，方程有一个三重实根。

当

时，方程有一个实根和一对共轭虚根。

当

时，方程有三个实根，其中有一个二重根。

当

时，方程有三个不相等的实根。

参考资料

[1]

判别式的解释|判别式的意思|汉典“判别式”词语的解释[引用日期2022-05-17 21:34:32]

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