3*5/3.8*7/5.8*11/9.8*13/11.8*......*P/(P-1.2)-1=M
P是梅森数的指数,M是P以下的梅森素数的个数。
以下是计算的数值与实际数的情况:
指数5,计算2.947,实际3 ,误差0.053;
指数7,计算3.764,实际4 ,误差 0.236;
指数13,计算4.891,实际5,误差0.109;
指数17,计算5.339,实际6,误差0.661;
指数19,计算5.766,实际7,误差1.234;
指数31,计算6.746,实际8,误差1.254;
指数61,计算8.445,实际9,误差0.555;
指数89,计算9.201,实际10,误差0.799;
指数107,计算9.697,实际11,误差1.303;
指数127,计算10.036 ,实际12,误差1.964;
指数521,计算13.818,实际13,误差-0.818;
指数607,计算14.259,实际14,误差-0.259;
指数1279,计算16.306,实际15,误差-1.306;
指数2203,计算17.573,实际16,误差-1.573;
指数2281,计算17.941,实际17,误差-0.941;
这个公式是根据梅森素数的分布规律得出的。万数1为首,1被除外了,所以要减去1。在不考虑重叠问题,应该P减1就可以了,这里已考虑重叠问题,所以就P减1.2.在梅森数的指数渐渐增大,1.2是否合适,还要等实际检验。
所有的奇素数都是准梅森数(2^N-1)的因 子数,则梅森合数的因子数是只有素数中的一部份。 在2^N-1的数列中,一个素数作为素因子第一次出现在指数N的数中,这个素数作为因子数在2^N-1数列中就以N为周期出现。在这种数列中指数是偶数的都等于3乘以四倍金字塔数。
在2^N-1数列中,指数大于6的,除梅森素数外,都有新增一个或一个以上的素数为因子数,新增的因子数减1能被这个指数整除。
一个梅森合数的因子数只有唯一一次出现在一个梅森合数中。
一个是梅森素数的素数,它永远不是梅森合数的因子数。
一个是前面的梅森合数的因子数的素数,它永远不会是后面的梅森合数的因子数。
所有梅森合数的因子数减1都能被这个梅森合数的指数整除,商是偶数。
一个素数在不是梅森合数的准梅森数中第一次以因子数出现,这个素数减1能被这个准梅森数的指数整除,商不一定是偶数。
梅森素数都在[4^(1-1)+4^(2-1)+4^(3-1)+......+4^(n-1)]*6+1数列中,括符里种数暂叫四倍金字塔数。
凡是一个素数是四倍金字塔数的因子数,以后就不是梅森合数的因子数。
在4^(1-1)+4^(2-1)+4^(3-1)+......+4^(n-1)数列中的数,有不等于6NM+-(N+M)的数乘以6加上1都是梅森素数。
在2^P-1平方根以下的素数都以素因子在以前准梅森数中出现了,那这个梅森数必是梅森素数。但它的逆定理是不成立的。如果还没有出现在以前的准梅森数中的素数,它也不定是梅森合数的因子数。
梅森合数的因子数都是8N+1和8N-1形的素数。
试证梅森素数
在指数n是无限多的2^n-1数列中梅森数和梅森素数只占其中的很少比例。
根据费马小定理,每一个奇素数都会以数因子出现在2^n-1数列中,只不过有些提前出现,有些最后出现。只有梅森素数是最早出现在这个数列中的。其他有素数都不会最早出现,最迟出现的素数是在本数减1的数中,也就是费马小定理的地方。 每一个奇素数都十分有规律作为因子数出现在2^n-1数列中,一个素数第一次出现在2^n-1数中(包括梅森素数),这个素数就以n为周期反复出现在2^n-1数列中,如3第一次出现在n=2中,指数能被2整除的都有3的因子数;7第一次出现在n=3,指数能被3整除的都有7的因子数;5第一次出现在n=4中,指数能被4整除都有5的因子数。一个素数出现在2^n-1数列n中,不管n是素数不是素数,只要用小于n的全部奇素数去筛,指数n都在其中。如果是合数与前面的素数是重叠的,所以不用重筛了。
要筛完2^n-1数列中所有数因子,必需用少于或等于2^n-1平方根以内的所有素数去筛,这样剩下没有筛的就是梅森素数了。
2^n-1的数列是无限多的,无限多的自然数任你筛多少次的几分之一,永远是无限多的。所以梅森素数是无限多的。 梅森素数的筛法
根据费马小定理,每一个奇素数都会以素因子的身份出现在2^n-1数列中,只不过有些出现早,有些出现迟。
每一个奇素数第一次出现在2^n-1数列指数n的数中,这个n就是这个素数的对应数,它就以n为周期反复出现。
已经知道梅森素数都出现在梅森数中。只要筛去梅森数中的梅森合数,剩下就是梅森素数。
将梅森数列展开,从3的对应数2开始,2点一点;5的对应数是4,4是合数,就不用操作;7的对应数是3,在3点一点;11的对应数是10,是合数,不用操作;13的对应数是12,12是合数,不用操作;这样一直点下去,点到梅森数的指数以前的数都能筛净。凡是一个梅森数点上两次和两次以上的都给划去,剩下就是只有点一次的梅森数了,这些梅森数全是梅森素数。
这个筛法在素数很大时找它的对应数有点困难。