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勒贝格测度
1902年勒贝格提出的标准方法
基本信息
| 中文名 | 勒贝格测度 |
| 外文名 | Lebesgue measure |
| 提出时间 | 1902年 |
| 领域 | 数理科学 |
| 所属学科 | 测度论 |
历史
勒贝格在1901年描述勒他的测度，随后在第二年他描述了勒贝格积分。二者都是作为他在1902年的博士论文的一部分发表的。
例子
性质
1. 如果A是区间 
的笛卡尔积，那么A是勒贝格可测的，并且 
其中
表示区间I的长度。
2. 如果A是有限个或可数个两两互不相交的勒贝格可测集的并，那么A也是勒贝格可测的，并且λ(A) 就是这些可测集的测度的和（或无穷级数的和）。
4. 对于每个勒贝格可测集A，
。
5. 如果A与B是勒贝格可测的，且A是B的子集，那么
。 (由 2, 3 及 4可得。)
6. 可数多个是勒贝格可测集的交或者并仍然是勒贝格可测的。 (由2，3 可得)。
7. 如果A是一个开集或闭集，且是 R(甚至Borel集，见度量空间，待补)的子集，那么A是勒贝格可测的。
8. 如果A是一个勒贝格可测集，并有
(零测集)，则A的任何一个子集也是零测集。
9. 如果A是勒贝格可测的，x是 R中的一个元素，A关于x的平移（定义为
）也是勒贝格可测的，并且测度等于A.
10. 如果A是勒贝格可测的，
，则
关于
的扩张（定义为
）也是勒贝格可测的，其测度为
。
11. 更广泛地说，设T是一个线性变换，A是一个 R的勒贝格可测子集，则T(A)也是勒贝格可测的，其测度为
。
零测集
勒贝格测度的结构
勒贝格测度的现代结构，基于外测度，是卡拉特奥多里发明的。
对于任何 
的子集A，我们可以定义它的外测度
：
根据维塔利定理，存在实数 的一个勒贝格不可测的子集。如果A是 的任何测度为正数的子集，那么A便有勒贝格不可测的子集。
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