雅可比行列式通常称为雅可比式(Jacobian)它是以n个n元函数的偏导数为元素的行列式。事实上，在函数都连续可微（即偏导数都连续）的前提之下，它就是函数组的微分形式下的系数矩阵（即雅可比矩阵）的行列式。若因变量对自变量连续可微，而自变量对新变量连续可微,则因变量也对新变量连续可微。这可用行列式的乘法法则和偏导数的连锁法则直接验证。也类似于导数的连锁法则。偏导数的连锁法则也有类似的公式；这常用于重积分的计算中。如果在一个连通区域内雅可比行列式处处不为零，它就处处为正或者处处为负。如果雅可比行列式恒等于零，则函数组是函数相关的，其中至少有一个函数是其余函数的一个连续可微的函数。

中文名

雅可比行列式

外文名

Jacobian

应用学科

高等数学

提出者

雅可比

别名

雅可比式

验证方式

若因变量

对自变量

连续可微，而自变量

对新变量

连续可微,则因变量(

)也对新变量(

)连续可微，并且

这可用行列式的乘法法则和偏导数的连锁法则直接验证。偏导数的连锁法则也有类似的公式；例如，当

对(

)连续可微，而(

)对(

)连续可微时，便有

如果(3)中的

能回到

，则

这时必须有

于是以此为系数行列式的联立线性方程组(2)中能够把(

)解出来。

由隐函数存在定理可知，在(

) 对连续可微的前提下,只须

便足以保证（

）对(

)连续可微。这样,连续可微函数组便在雅可比行列式不等于零的条件之下,在每一对相应点u与x的邻近范围内建立起点与点之间的一个一对一的对应关系。

在

的情形，以

为邻边的矩形(

)对应到(

)平面上的一个曲边四边形(

),其面积

关于

的线性主要部分，即面积微分是

这常用于重积分的计算中。

如果在一个连通区域内雅可比行列式处处不为零，它就处处为正或者处处为负（其正负号标志着u-坐标系的旋转定向是否与

坐标系的一致）。如果雅可比行列式恒等于零,则函数组(

)是函数相关的,其中至少有一个函数是其余函数的一个连续可微的函数。