辅助角公式是李善兰先生提出的一种三角函数公式，使用代数式表达为asinx+bcosx=√(a²+b²)sin[x+arctan(b/a)]（a>0）。虽然该公式已经被写入中学课本，但其几何意义却鲜为人知。

中文名

辅助角公式

外文名

The auxiliary Angle formula

别名

辅助角提斜化一公式

表达式

asinx+bcosx=√(a²+b²)sin(x+\arctan(b/a))

提出者

李善兰

提出时间

19世纪

适用领域

数学、物理学、天文学、高等数学等

类型

高等三角函数公式

公式内容

该公式的主要作用是将多个三角函数的和化成单个函数，以此来求解有关最值问题。

推导过程

9922次播放02:44高一数学三角函数，2分钟学会辅助角公式，重中之重务必熟练掌握

对于

型函数，我们可以如此变形

为利用两角和差公式化简，

设

使

（注意到

）

其等价于

则

即

或

几何理解方式

提出问题

如何找出辅助角公式的几何意义呢？或者说，这个公式中的各个量之间有着怎样的联系呢？

对于这样一个复杂的公式，不确定的量太多了。

分析意义

我们需要分析公式中每一个量的意义。

先看等式左边：两个分别增大（或减小）一定倍数的正弦与余弦函数的和。

再看等式右边：一个增大（或减小）一定倍数并且被改变了初相的正弦函数。

从代数意义上讲，辅助角公式是为了对几个同频率的正弦型函数

求和，转化为一个单独的正弦型函数而诞生的。频率相同意味着相同，所以对于辅助角公式而言，为了方便起见，我们只讨论

时的特殊情况。在这种情况下，对于一个正弦型函数，我们只有

（增大的倍数）与

（初相）两个量需要讨论。

我们可以把

看作大小，把

看作角度。而角度和大小恰是极坐标系确定位置的两个要素。

辅助角公式与极坐标系有什么关系吗？

简化验证

简化问题，使

，得

辅助角公式

又因为

，则

而在极坐标系中平面向量的加和即为

两者之间有异曲同工之妙。

由此可见，我们的猜想得到了一定的验证。

即

与

都只是单位向量，而

两者是单位向量的变化幅度，

是两向量和的模，则是和向量与横轴的夹角。推广延伸

之前的验证只是对简化后的结果进行的，即

。其实，这一结果具有普适性。

譬如

你可以自己找几个例子，多试几次。

注：这种几何意义同样适合推导诱导公式等部分三角函数恒等变换公式，但三角函数间乘法不等价于单位向量间点乘（即数量积）。

另外，该几何意义也与矩阵有部分联系。

即获得的向量和可以通过该矩阵计算

(以平面直角坐标系为基准，而非极坐标系)

疑问

为什么在推导辅助角公式的时候要令辅助角的取值范围为

？其实是在分类讨论

或

的时候，已经把辅助角的终边限定在一、四象限内了，此时辅助角的范围是

。而根据三角函数的周期性可知加上后函数值不变，况且在

内辅助角可以利用反正切表示，使得公式更加简洁明了。

提出者

李善兰，原名李心兰，字竟芳，号秋纫，别号壬叔。出生于1811年1月22日，逝世于1882年12月9日，浙江海宁人，是中国近代著名的数学、天文学、力学和植物学家，创立了二次平方根的幂级数展开式，研究各种三角函数，反三角函数和对数函数的幂级数展开式（现称“自然数幂求和公式”），这是李善兰也是19世纪中国数学界最重大的成就。

例题计算

例1

求

的最大值

解

：

设

则

由辅助角公式易得：

整理，得：

令

则

故

又有

易知：

例2

化简

解：

辅助角公式

其中，

,

例3

,求

的最小值

解：令

(降幂公式)

(辅助角公式)

因为

所以

记忆

很多人在利用辅助角公式时，经常忘记反正切到底是b/a还是a/b，导致做题出错。其实有一个很方便的记忆技巧，就是不管用正弦还是余弦来表示

，分母的位置永远是你用来表示函数名称的系数。

例如用正弦来表示

，则反正切就是

（即正弦的系数a在分母）。如果用余弦来表示，那反正切就要变成

（余弦的系数b在分母）。