反演变换（数学中的概念）

基本内容

数学反演变换（invereive transformation)

·反演变换定义：设在平面上给定了半径为r的圆O，若A′为过定点O的直线OA上一点，且有向线段OA与OA′满足OA·OA′=k(k为非零常数），则这种变换叫做关于⊙O（r）的反演变换，简称反演。称A′为A关于⊙O（r）的反演点，同样，A为A′关于⊙O（r）的反演点；圆心O称为反演中心或反演极；圆半径r称为反演半径；⊙O（r）称为反演（基）圆。k称为反演幂，1）当k=r^2（r的平方）＞0时，有向线段OA与OA′同向，A与A′在反演极同侧，这种反演变换称为正幂反演，亦叫双曲线式反演变换；2）当k=-r^2＜0时，有向线段OA与OA′反向，A与A′在反演极异侧，这种反演变换称为负幂反演，亦叫椭圆式反演变换。在某一反演变换中相互对应的两个图形互为反演图形或反象。

正幂反演的性质：

1、反演中心不存在反演点。不共线的两对反演点共圆，且此圆与反演基圆正交。与反演基圆正交的圆，其反象为原圆。

2、反演变换φ把通过反演中心O的任一条直线变成自身。即通过反演中心的任何直线都是该反演变换下的不变图形。（直线→直线）

3、反演变换φ把任一条不通过反演中心O的直线变成一个通过反演中心O的一个圆，而且这个圆周在点O的切线平行于该直线。（直线→圆）

4、反演变换φ把任一个通过反演中心O的圆周变成一个不通过反演中心O的一条直线，而且这条直线平行于该圆的过点O的切线。（圆→直线）

注：性质3和4互为逆命题。

5、反演变换φ把任一个不通过反演中心O的圆周变成不能过反演中心O的圆周。（圆→圆）

由于可以把直线看成圆周，上述性质2—5可经综合为

定理一 反演变换把（广义）圆周变成（广义）圆周。这个定理常称为反演变换的保圆性。

6、任何两条直线在它们的交点A的夹角，等于它们的反演图形在相应点A′的夹角，但方向相反。

7、两个相交圆周在交点A的夹角等于它们的反演图形在相应点A′的夹角，但方向相反。

8、一条直线和一个圆周在交点A的夹角等于它们的反演图形在相应点A′的夹角，但方向相反。

上述性质6—8可经综合为

定理二 两相交（广义）圆周在交点A的夹角，等于它们的反演象（广义）圆周在相应点A′的夹角，但方向相反。定理二称为反演变换的反向保角性。

因反演变换具有保圆性和反向保角性而成为证题和作图中的重要工具。由定理一、二易得：

9、正交两圆其反象仍正交。

9、相切两圆的反象仍相切，若切点恰是反演中心，则其反象为两平行线。

负幂变换可以转化为一次正幂变换和一次关于反演极反射的积来代替。

·作已知点的反演点的方法：

给出反演极O和反演幂k＞0，作点A的反演点A′。

令k=r^2，作出反演基圆⊙O（r），

1）若点A在⊙O（r）外，则过点A作圆的切线(两条),两个切点相连与OA连线交点就是点A′。

2）若点A在⊙O（r）内，则把上述过程逆过来：连结OA，过点A作直线垂直于OA，直线与⊙O（r）的交点处的切线的交点就是点A′。

3）若点A在⊙O（r）上，反演点A′就是点A自身。