华氏定理（1940年华罗庚提出的数学定理）

介绍

华氏定理（1940）命 q是一个正整数，

华氏定理

即所谓高斯和:

并得到估计

高斯引进并研究高斯和的目的在于给出初等数论中非常重要的二次互反律一个证明。以后，不少数学家企图推广高斯和及他的估计，但他们只能对特殊的多项式所对应的

华氏定理是臻于至善的，即误差主阶

华氏定理的直接应用是，可以处理比希尔伯特一华林定理更为广泛的问题：

命 N为一个正整数，

考虑不定方程

(1)

的求解问题，特别取

(2)

1770年，华林提出猜想：当

华氏不等式

华氏不等式(1938)命 N 为一个正整数， f(x)为一个 k次整系数多项式，则

华氏定理

华氏不等式的直接应用为不定方程（1），由圆法来处理方程（1），则首先需将方程（1）的解数表示成

(0,1),

(0,1)

基于华罗庚关于解析数论的基本方法，即关于指数和估计的华氏定理与华氏不等式，再加上依· 维诺格拉朵夫的韦尔（H. Weyl）和估计与关于素数变数的指数和估计，华罗庚系统地研究了不定方程及其他堆垒问题的求解问题，并限制变数

人物介绍

华罗庚，中国现代数学家。1910年11月12日生于江苏省金坛县。华罗庚1924年金坛中学初中毕业之后，在上海中华职业学校学习不到一年，因家贫辍学，但他刻苦自修数学，1930年在《科学》上发表了关于代数方程式解法的文章，被邀到清华大学工作，开始了数论的研究。

1934年成为中华教育文化基金会研究员。1936年作为访问学者去英国剑桥大学工作。1938年回国，受聘为西南联合大学教授。1946年赴美国，任普林斯顿数学研究所研究员、普林斯顿大学，1948年始，他为伊利诺伊大学教授。1950年回国。

历任清华大学教授，中国科学院数学研究所、应用数学研究所所长、名誉所长，中国数学学会理事长、名誉理事长，全国数学竞赛委员会主任，美国国家科学院国外院士，第三世界科学院院士，联邦德国巴伐利亚科学院院士，中国科学院物理学数学化学部副主任、副院长、主席团成员，中国科学技术大学数学系主任、副校长，中国科协副主席，国务院学位委员会委员等职。

曾任一至六届全国人大常务委员，六届全国政协副主席。曾被授予法国南锡大学、香港中文大学和美国伊利诺斯大学荣誉博士学位。

主要从事解析数论、矩阵几何学、典型群、自守函数论、多复变函数论、偏微分方程、高维数值积分等领域的研究与教授工作并取得突出成就。

40年代，解决了高斯完整三角和的估计这一历史难题，得到了最佳误差阶估计（此结果在数论中有着广泛的应用）；对G.H.哈代与J.E.李特尔伍德关于华林问题及E.赖特关于塔里问题的结果作了重大的改进，至今仍是最佳纪录。

在代数方面，证明了历史长久遗留的一维射影几何的基本定理；给出了体的正规子体一定包含在它的中心之中这个结果的一个简单而直接的证明，被称为嘉当-布饶尔-华定理。

其专著《堆垒素数论》系统地总结、发展与改进了哈代与李特尔伍德圆法、维诺格拉多夫三角和估计方法及他本人的方法，发表40余年来其主要结果仍居世界领先地位，先后被译为俄、匈、日、德、英文出版，成为20世纪经典数论著作之一。

其专著《多个复变典型域上的调和分析》以精密的分析和矩阵技巧，结合群表示论，具体给出了典型域的完整正交系，从而给出了柯西与泊松核的表达式，获中国自然科学奖一等奖。

倡导应用数学与计算机的研制，曾出版《统筹方法平话》、《优选学》等多部著作并亲自在中国推广应用。与王元教授合作在近代数论方法应用研究方面获重要成果，被称为“华-王方法”。在发展数学教育和科学普及方面做出了重要贡献。发表研究论文200多篇，并有专著和科普性著。

1985年6月12日，华罗庚应邀到日本东京大学作学术报告。他先中文，后改用英语演讲。日本学者被他精彩的演说深深吸引，原定45分钟的报告在经久不息的掌声中被延长到一个多小时。当他满头大汗结束讲话时，突然心脏病发作倒在讲台上。他用行动实践了自己的诺言：“最大的希望就是工作到生命的最后一刻。”

华氏不等式

1936年华罗庚到剑桥大学进修了两年，他师从哈代，积极参加剑桥大学数论小组的学术讨论班活动，迅速进入到该领域前沿。华罗庚潜心研究数论的重要问题，解决了华林（Waring）问题，他利（Tarry）问题等数学难题，其杰出才华在剑桥沃土上显露出来，在国际数学界引人注目。

华罗庚抓紧这两年的时间，学习非常刻苦努力，写了十八篇关于“华林问题”、“他利问题”，“奇数的哥德巴赫问题”的论文，先后发表在英、苏、印度、法、德等国的杂志上。他的工作成绩得到了大家的认可与赞许。其中他的最有名的一篇论文“论高斯的完整三角和估计问题”，代表了他的工作在这个领域的有着长期与重要的影响。

苏联数学家维诺格拉朵夫（1891-1983），从1934年至1983年一直担任苏联科学院斯捷克洛夫数学研究所的所长。他对韦尔和的估计方法及以素数为变数的指数和估计方法自30年代以来，对数论发展产生了深刻的影响。他在堆垒数论方面得到不少深刻的结果，尤其是他对奇数的哥德巴赫猜想的基本解决及关于华林问题的结论是最为有名。

维诺格拉朵夫的主要成就是发表在30年代，这也是华罗庚进入数论研究的高峰时期。他认真学习了维诺格拉朵夫的方法，虽然华罗庚是自学维诺格拉朵夫方法的。但他对这个方法的了解和贡献却不在旁人之下。维诺格拉朵夫在他的书《数论中的三角和方法》的序言中，提到这个方法是我与柯坡尔特、朱达柯夫、华罗庚及其他人一起合作得出的。

华罗庚最重要的数论工作当然还是他自己独创性的工作。