倍立方问题，是指作一个立方体，使它的体积是已知立方体的体积的两倍；化圆为方问题：作一个正方形，使它的面积等于已知圆的面积。在2400年前的古希腊已提出这些问题，直至1837年，法国数学家万芝尔才首先证明“三等分角”和“倍立方”为尺规作图不能问题。1882年德国数学家林德曼证明π是超越数后，“化圆为方”也被证明为尺规作图不能问题。

中文名

倍立方问题

外文名

Cubic problem

类别

古希腊三大几何问题

起源地

西腊第罗斯岛(Delos)

起源时间

公元前429年

所在领域

尺规组图

问题

倍立方问题

传说中，这问题的来源，可追溯到公元前429年，一场瘟疫袭击了希腊提洛岛(Delos)，造成四分之一的人口死亡。岛民们推派一些代表去神庙请示阿波罗的旨意，神指示说：

要想遏止瘟疫，得将阿波罗神殿中那正立方的祭坛加大一倍。人们便把每边增长一倍，结果体积当然就变成了8倍，瘟疫依旧蔓延；接着人们又试着把体积改成原来的2倍，但形状却变为一个长方体……第罗斯岛人在万般无奈的情况下，只好鼓足勇气到雅典去求救于当时著名的学者柏拉图。

开始，柏拉图和他的学生认为这个问题很容易。他们根据平时的经验，觉得利用尺规作图可以轻而易举地作一个正方形，使它的面积等于已知正方形的2倍，那么作一个正方体，使它的体积等于已知正方体体积的2倍，还会难吗？结果，……但是，柏氏门徒当时倒有两件差点成功的作法：

注解

注：『求体积是稜长 a 的立方体的2倍的立方体』，这问题可以转化为『求在 a 与 2a 之间插入二数x,y，使 a,x,y,2a 成等比数列』 即 

故

 , 

，

从而 

, 故 

 ，则稜长 x 的立方体即为所求。 1. 已知：线段 a 求作：对角线互相垂直的直角梯形ABCD，使得 ,作法一

( 则 ) 作法： 1. 作互相垂直的线M,线N,交点为O；2. 在M上取 

，在N上取

； 3. 取二曲尺，使一曲尺通过C点，且顶点在N上，另一曲尺通过D点，且顶点在M上，且二尺的另一边互相密合，如此，便分别在M,N上产生A,B点，则四边形ABCD中的OA（或OB）即为所求。讨论：应用原理为 

. 已知：线段 a求作：线段x,y，使得

 。作法二

作法： 1. 作互相平形且距离为2a的直线M,

. 在M,N之间，夹著三个全等的直角三角板，使他们的一个直角边与M密合，相对顶点在N上*3. 固定最左边的一个三角尺，且在最右边的一个三角尺股 上取*4. 滑动右边及中间的三角尺，使每个三角尺的斜边与相邻三角尺股交点(R及S)与E,Q共线，则 即为所求。作法三

3. [以下是西元前350年希腊数学家梅内克缪斯Menaechmus)的作法] 已知：线段 a 求作：线段x,y，使得

 作法： *1. 作抛物线 [其中顶点(0,0)，对称轴y轴，过

] *2. 作抛物线 [其中顶点(0,0)，对称轴x轴，过( ,a)] ¸ 二抛物线交於P点 3. 过P作，则 即为所求 4. [西元前150年戴可利斯(Diocles)发明一种蔓叶线(cissoid) ,此为三次曲线，它可解倍立方问题 作法：1. 是圆O内互相垂直的直径 2. E点在弧BC上，Q点在弧BD上，并满足 *3. 作 於H，交 於P，(P点的轨迹就是蔓叶线) 4. 则 讨论：应用原理为