胡尔维茨定理是关于解析函数序列的各项与它们的极限函数在一条简单闭曲线内部零点个数之间关系的定理。

简介

设D是一个区域，D内的解析函数序列式f(z)在D内闭一致收敛于函数f(z)，f(z)不恒为0，并设Γ是D内的任意一条简单闭曲线，其内部也在D内，且Γ不经过函数f(z)的零点，则存在一个依赖于曲线Γ的正整数N，使得当n>N时，函数式f(z)在Γ内部的零点个数等于函数f(z)在Γ内部的零点个数。

推论

由胡尔维茨定理可以推出：若解析函数序列式f(z)都在D内单叶，则f(z)在D内也单叶。

解析函数

解析函数是区域上处处可微分的复函数。17世纪，L.欧拉和J.leR.达朗贝尔在研究水力学时已发现平面不可压缩流体的无旋场的势函数Φ(x，y)与流函数Ψ(x，y)有连续的偏导数，且满足微分方程组，并指出f(z)=Φ(x，y)+iΨ(x，y)是可微函数，这一命题的逆命题也成立。

柯西把区域上处处可微的复函数称为单演函数，后人又把它们称为全纯函数、解析函数。B.黎曼从这一定义出发对复函数的微分作了深入的研究，后来，就把上述的偏微分方程组称为柯西-黎曼方程，或柯西-黎曼条件。