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开普勒第二定律（三条开普勒定律之一）

次浏览 | 更新时间：2023-05-20

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开普勒第二定律

三条开普勒定律之一

开普勒行星运动第二定律，也称等面积定律，指的是太阳系中太阳和运动中的行星的连线（矢径）在相等的时间内扫过相等的面积。

该定律是德国天文学家约翰尼斯·开普勒发现的三条开普勒定律之一。最初刊布在1609年出版的《新天文学》中，该书还指出该定律同样适用于其它绕心运动的天体系统中。

开普勒第二定律是对行星运动轨道更准确的描述，为哥白尼的日心说提供了有力证据，并为牛顿后来的万有引力证明提供了论据，和其他两条开普勒定律一起奠定了经典天文学的基石。

基本信息

中文名	开普勒第二定律
外文名	Kepler's second law
别名	等面积定律
建立时间	1609年
创始人	约翰尼斯·开普勒

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定律定义

约翰内斯·开普勒在《新天文学》中的原始表述：在相等时间内，太阳和运动着的行星的连线所扫过的面积都是相等的。

常见表述：中心天体与环绕天体的连线（称矢径）在相等的时间内扫过相等的面积。即：

式中，k为开普勒常量（且不同的天体系统内拥有不同的开普勒常量），r为从中心天体的质心引向行星的矢量。

为行星速度与矢径r之间的夹角。

如右图所示，用公式表示为：

。

数学推导

由于万有引力充当向心力，所以角动量守恒定律给出（m为行星质量，r为行星到太阳的距离，θ为行星与太阳连线的夹角）：

解出

，得到，

同时，极坐标形式下，面积元为：

代入上面的求得的

，可以得到：

即：

再把两边积分即得到了开普勒第二定律。

由一式可以看出，这一定律实际揭示了行星绕太阳公转的角动量守恒。

定律要素

适用范围

开普勒定律适用于宇宙中一切绕心的天体运动。

局限性

1.对于处在较大引力场中的行星，如水星，会出现近日点进动的现象，此时开普勒第二定律需要用广义相对论加以修正。具体为：

1915年，爱因斯坦根据广义相对论把行星的绕日运动看成是它在太阳引力场中的运动，由于太阳的质量造成周围空间发生弯曲，使行星每公转一周近日点进动为：其中a为行星轨道的长半轴，c为光速，以cm/s表示，e为偏心率，T为公转周期。对于水星，计算出

。

2.对于具有极大能量的天体，如类星体，现有的开普勒第二定律显然不适用。

衍生推论

1.设行星1和行星2运行轨道的半径分别为

和

，当

小于

时。

则有

（1）行星1的线速度大于行星2的线速度；

（2）行星1的角速度大于行星2的角速度；

（3）行星1的加速度大于行星2的加速度；

（4）行星1的运行周期小于行星2的运行周期；

（5）在相同的时间内，行星1的运行路程大于行星2的运行路程；

（6）在相同的时间内，行星1扫过的角度大于行星2扫过的角度。

2.行星在椭圆轨道运动时，极径(又称向径R)所扫过面积与经过的时间成正比，即掠面速度守恒 (

)，亦即矢积守恒，又称动量矩（角动量

）守恒。

拓展形式

数据：两倍掠面速度(J)，两倍椭圆面积(

)，椭圆周期定律(T)，极径(R)，偏斜速度(V)，偏斜动量(mV)，速度方向与极径夹角(α)，球面速度(V)，极径角速度(ωR), 弧高(RL) ，最小曲率半径（L），速度系数（V），天体引力常数（GM）

开普勒第二定律掠面速度守恒公式：

这是天体偏斜运动一般的矢积面速度守恒公式：极径*天体速度*两矢夹角正弦。

开普勒第二定律几种表述：

表述一：

表述二：极径(R)* 天体速度(VS)*两矢夹角的正弦sin(α)的三个变量的积是不变量。

表述三：天体速度(V)*弧高(RL) 二个变量的积是不变量。

表述四：极径(R)*球面速度(V)二个变量的积是不变量。

表述五：极径的平方(R²)*极径角速度(ωR)的积是不变量。

表述六：最小曲率半径（L）*速度系数（V）。

表述七：天体引力常数（GM）与最小曲率半径（L）积的平方根。

特别的：

近日点的天体速度最大：

远日点的天体速度最小：

。

发展简史

丹麦天文学家第谷·布拉赫死后，留下20多年的观测资料和一份精密星表。第谷提出了一种介于地心说和日心说之间的学说，在17世纪传入我国，并产生重大影响。在没有天文望远镜的情况下，第谷对天体方位进行了几十年的观测，凭借着惊人的毅力和耐心，积累了大量的精确材料，开普勒的发现，就是通过归纳分析这些材料得出的。

开普勒认为通过对第谷的记录做仔细的数学分析可以确定哪个行星运动学说正确的：哥白尼日心说，古老的托勒密地心说，或者是第谷本人提出的第三种学说。但是经过多年仔细的计算和研究，他发现这三种学说与第谷的星表和观测数据都不符合。

约翰内斯·开普勒

约翰内斯·开普勒在无法用已有的行星运动理论解释第谷的观测资料的情况下，果断放弃了行星作匀速圆周运动的观念，并试图用别的几何图形来解释，经过四年的苦思冥想，也就是到了1609年他发现椭圆形完全适合这里的要求，能做出同样准确的解释，于是得出了“开普勒第一定律”：火星沿椭圆轨道绕太阳运行，太阳处于两焦点之一的位置。

当开普勒继续研究时，“诡谲多端”的火星又将他骗了。原来，开普勒和前人都把行星运动当作等速来研究的。他按照这一方法苦苦计算了1年，却仍得不到结果。后来他发现，火星运行速度是不匀的，当它离太阳较近时运动得较快(近日点),离太阳远时运动得较慢(远日点)。

开普勒发现该问题后，经过精准刻苦的计算，他发现：在椭圆轨道上运行的行星速度不是常数，而是在相等时间内，行星与太阳的连线所扫过的面积相等。这就是行星运动第二定律，又叫“面积定律”。

这两条定律刊布在1609年出版的《新天文学》(又名《论火星的运动》)中，该书还指出两定律同样适用于其他行星和月球的运动。

应用领域

开普勒第二定律，或者是用几何语言，或者是用方程，将行星的坐标及时间跟轨道参数相连结。有效解决了对于天体运动规律的解释。在研究天体的运动中，利用牛顿的力学和开普勒三大定律的有效结合，可以预测天体的运行轨道、运动速度、旋转周期，从而能够预测某一时刻到天体在空间中的位置，能够应用到天体探测、卫星发射等领域。

定律影响

开普勒定律一经确立，本轮系彻底垮台，天体运动不再无规律可循，开普勒定律成了天空世界的“法律”。后世学者尊称开普勒为“天空立法者”。

首先，开普勒定律在科学思想上既有重要影响。其表现出的无比勇敢的创造精神和质疑精神激励着后来的学者们勇于创新，勇于质疑。

其次，开普勒第二定律和开普勒第一定律彻底摧毁了托勒密的本轮系，把哥白尼体系从本轮的桎梏下解放出来，为它带来充分的完整和严谨。从此，不须再借助任何本轮和偏心圆就能简单而精确地推算行星的运动。

第三，包括开普勒第二定律在内的开普勒定律使人们对行星运动的认识得到明晰概念。它证明行星世界是一个匀称的、可以计算的系统。太阳位于每个行星轨道的焦点之一。行星公转周期决定于各个行星与太阳的距离，与质量无关。

第四，开普勒第二定律有力的证明了日心说，进一步推翻了神创论，弘扬了科学精神，推动了时代发展。为后来牛顿万有引力的提出奠定了基础，提供了有力论据。

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