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二次域
基本信息
| 外文名 | quadratic field |
| 适用范围 | 数理科学 |
正文
假定
适合一个有理整系数的既约二次方程。则
就称为一个二次域。实际上，全体二次域即
，其中 D 过 所有不等于 1 且无平方因子的有理整数。
当
时，称为实二次域 (real quadratic field) ;
当
时， 
称为虚二次域 (imaginary quaadratic field) ;
当
时，命 
及 
；
1801年，C.F.高斯发表了他在20岁时所写的数论著作《算术研究》，展现了他的一个杰出的思想，即把有理数域和有理整数环上的许多初等数论问题，放到更大的域和环──二次域和它的(代数)整数环上来研究。他在这些方面的工作，是研究二次域的开端，也是代数数论的一个源头。
二次域有许多研究课题，其中最著名的是高斯关于类数问题的两个猜想:①只有有限多个类数为1的虚二次域;②存在着无限多个类数为1的实二次域。关于第一个猜想,1934年，H.海布雷恩证明了当
时,
。1935年C.L.西格尔进一步证明了
。A.贝克于1966年和H.M.斯塔尔克于1967年各自独立地证明了类数为1的虚二次域
只有9个：
。至于第二个猜想，则至今仍未解决。
参考书目
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