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超越数论（超越数论）

次浏览 | 更新时间：2023-05-22

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超越数论

超越数论是以超越数为研究对象的数论分支之一。

基本信息

外文名	Beyond number theory
分类	代数数超越数
学科	数论
证明者	法国数学家刘维尔
研究方向	数的超越性

正文

以超越数为研究对象的数论分支之一。全体复数可分为两大类：代数数和超越数。如一个复数是某个系数不全为零的整系数多项式的根，则称此复数为代数数。不是代数数的复数，叫做超越数。J.刘维尔开创了对超越数的研究，他发现无理代数数的有理数逼近的精密性有一个限度，借此他于1844年构造出历史上第一批超越数，例如

超越数论

对g=2,3,…都是超越数。早在1844年以前的一个世纪里，对无理数的研究已成为一个注意焦点。1744年,L.欧拉证明了自然对数的底e是无理数。1761年，J.H.朗伯证明了圆周率π是无理数。

1873年，C.埃尔米特证明了e是超越数，从而使超越数论进入一个新阶段。1882年,F.von林德曼推广了埃尔米特的方法，证明了π 是超越数，从而解决了古希腊的“化圆为方”问题。

19世纪超越数论的最高成就，是林德曼-外尔施特拉斯定理：如果α1,α2,…,αn是两两不同的代数数，β1,β2，…,βn是非零代数数，则

超越数论

(1)

由此可以导出，如果α1，α2,…,αn在无理数域Q上线性无关，则

超越数论

代数无关（即它们不适合任一其系数为有理数的多项式方程）。由(1)可知，如α是非零代数数，则sinα，cosα，tanα都是超越数；如α是不等于0和1的代数数，则自然对数lnα是超越数。

1900年,D.希尔伯特提出的23个问题中的第7问题是：如果α是不等于0和1的代数数，β是无理代数数，那么αβ是否超越数？D.希尔伯特曾预言，这个问题的解决将迟于黎曼猜想和费马大定理。A.O.盖尔丰德于1929年证明了：若α是不等于零和1的代数数,β是二次复代数数，则αβ是超越数，特别地,

超越数论

是超越数。P.O.库兹明于1930年把这个结果推广到β是二次实代数数的情形，特别地,

超越数论

是超越数。1934年,A.O.盖尔丰德和T.施奈德独立地对希尔伯特第7问题作出了肯定回答，此即所谓盖尔丰德-施奈德定理。由此可知，若α是正有理数，则常用对数lgα不是有理数，便是超越数；更一般地，对非零代数数α1,α2,β1,β2,若lnα1,lnα2在Q上线性无关，则

超越数论

1966年A.贝克把这个结果推广到任意多个对数的情形，证明了下述重要结果：若α1,α2,…,αn是非零代数数，且lnα1,…,lnαn在Q上线性无关，则1,lnα1,…,lnαn在所有代数数所成的域坴上线性无关。其推论有:①若代数数的对数线性组合（其系数为代数数）不等于零，则必为超越数。②若α1,α2,…,αn,β0,β1,…,βn是非零代数数，则

超越数论

是超越数。③若 α1,α2,…,αn是不为0和1的代数数，β1,β2,…,βn是代数数，且1，β1,β2,…，βn在Q上线性无关，则

超越数论

是超越数。A.贝克的理论还有定量形式，对数论许多分支有着重要应用。例如，第一次对几类很广的不定方程给出解的绝对值的有效上界，以及用以定出所有类数为 1和 2的虚二次域。前者是对于希尔伯特第10问题的肯定方面的实质性的贡献。1970年A.贝克获费尔兹奖。

代数数的有理逼近是超越数论的重要课题（见丢番图逼近）。由林德曼－外尔施特拉斯定理发展而成的西格尔-希德洛夫斯基理论，对于证明一类适合线性微分方程组的幂级数的值的代数无关性，建立了一般的方法。例如，令

超越数论

若λ是异于负整数和

超越数论

的有理数，则对于任何非零代数数α，Kλ(α)和K懁(α)代数无关。

超越数的测度理论是超越数论的又一个重要内容。1874年，G.康托尔引进了可数性的概念，而导致了“几乎所有”的实数（复数）都是超越数的结论。1965年，Β.Γ.普林茹克证明了K.马勒尔在1932年提出的猜想：对于几乎所有的实数θ、任意的正整数n 和正数ε，至多有有限多个n次整系数多项式p(x)，使得

超越数论

其中h是p(x)的诸系数的绝对值的最大值。

超越数论的最新发展使用着来自交换代数、代数几何、多复变函数论、甚至上同调理论的方法，正处于活跃之时。许多著名问题，例如，沙鲁尔猜测：若复数ζ1,…,ζn在Q上线性无关，则由

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在Q上生成的域的超越次数至少为n，及其特例关于e和π的代数无关性（甚或看来似乎容易得多的e＋π的超越性），以及欧拉常数

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的超越性的猜测，至今都未解决。

参考书目

华罗庚著：《数论导引》，科学出版社，北京，1957。

A.Baker,Transcendental Number Theory, Cambridge Univ. Press, 1975.

A.Baker and D.W.Masser, ed.,Transcendence Theory:Advances and Applications, Academic Press, New York,1977.

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