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概率论是数学的一个分支，主要研究随机现象的数量规律。随机现象是指试验或观察前不能确定出现哪种结果的现象，具有偶然性。概率论旨在从数量上描述和解释这些随机现象的规律。 概率论的研究范围很广，包括概率模型、随机过程、随机变量和它们的分布、随机事件的概率、独立性和马尔可夫性等。这些概念和工具可以用来描述和解释各种现实世界中的随机现象，如自然现象、工程系统、金融市场等。 概率论在数学和其他学科中都有广泛应用。在数学领域，概率论是数理统计学、金融数学、风险分析等领域的核心基础。在其他学科中，概率论被广泛应用于物理学、生物学、社会科学、工程学等领域，例如天气预报、遗传学研究、市场预测等。 总之，概率论是一种重要的数学工具，用于研究和解释随机现象的数量规律和行为。概率论
研究随机现象规律的数学分支
概率论
发展过程
起源
概率与统计的一些概念和简单的方法，早期主要用于赌博和人口统计模型。随着人类的社会实践，人们需要了解各种不确定现象中隐含的必然规律性，并用数学方法研究各种结果出现的可能性大小，从而产生了概率论，并使之逐步发展成一门严谨的学科。概率与统计的方法日益渗透到各个领域，并广泛应用于自然科学、经济学、医学、金融保险甚至人文科学中。
发展
随着18、19世纪科学的发展，人们注意到在某些生物、物理和社会现象与机会游戏之间有某种相似性，从而由机会游戏起源的概率论被应用到这些领域中；同时这也大大推动了概率论本身的发展。使概率论成为数学的一个分支的奠基人是瑞士数学家伯努利，他建立了概率论中第一个极限定理，即伯努利大数定律，阐明了事件的频率稳定于它的概率。随后棣莫弗和拉普拉斯又导出了第 二个基本极限定理（中心极限定理）的原始形式。拉普拉斯在系统总结前人工作的基础上写出了《分析的概率理论》，明确给出了概率的古典定义，并在概率论中引入了更有力的分析工具，将概率论推向一个新的发展阶段。19世纪末，俄国数学家切比雪夫、马尔可夫、李亚普诺夫等人用分析方法建立了大数定律及中心极限定理的一般形式，科学地解释了为什么实际中遇到的许多随机变量近似服从正态分布。20世纪初受物理学的刺激，人们开始研究随机过程。这方面柯尔莫哥洛夫、维纳、马尔可夫、辛钦、莱维及费勒等人作了杰出的贡献。
定义
传统概率
传统概率又叫拉普拉斯概率，因为其定义是由法国数学家拉普拉斯提出的。如果一个随机试验所包含的单位事件是有限的，且每个单位事件发生的可能性均相等，则这个随机试验叫做拉普拉斯试验。在拉普拉斯试验中，事件A在事件空间S中的概率P(A)为：
例如，在一次同时掷一个硬币和一个骰子的随机试验中，假设事件A为获得国徽面且点数大于4，那么事件A的概率应该有如下计算方法：
公理化定义
如何定义概率，如何把概率论建立在严格的逻辑基础上，是概率理论发展的困难所在，对这一问题的探索一直持续了3个世纪。20世纪初完成的勒贝格测度与积分理论及随后发展的抽象测度和积分理论，为概率公理体系的建立奠定了基础。在这种背景下，苏联数学家柯尔莫哥洛夫1933年在他的《概率论基础》一书中第一次给出了概率的测度论的定义和一套严密的公理体系。他的公理化方法成为现代概率论的基础，使概率论成为严谨的数学分支，对概率论的迅速发展起了积极的作用。
以下是公理化定义：
（1）非负性：
（2）规范性：
（3）可列（完全）可加性：对于两两互不相容的可列无穷多个事件
统计定义
设随机事件A在n次重复试验中发生的次数为nA，若当试验次数n很大时，频率
事件
事件包括单位事件、事件空间、随机事件等。
在一次随机试验中可能发生的唯一的，且相互之间独立的结果被称为单位事件，用e表示。在随机试验中可能发生的所有单位事件的集合称为事件空间，用S来表示。例如在一次掷骰子的随机试验中，如果用获得的点数来表示单位事件，那么一共可能出现6个单位事件，则事件空间可以表示为
随机事件是事件空间S的子集，它由事件空间S中的单位元素构成，用大写字母A，B，C...表示。例如在掷两个骰子的随机试验中，设随机事件
事件的计算
因为事件在一定程度上是以集合的含义定义的，因此可以把集合计算方法直接应用于事件的计算，也就是说，在计算过程中，可以把事件当作集合来对待。
A的补集 不属于A的事件发生 | 联集  或者A或者B或者A，B同时发生 | 交集  事件A，B同时发生 |
差集A\B 不属于B的A事件发生） | 空集  | 子集  如A发生，则B也一定发生 |
在轮盘游戏中假设A代表事件“球落在红色区域”，B代表事件"球落在黑色区域"，C代表事件"球落在绿色区域"，因为事件A和B没有共同的单位事件，因此可表示为概率
注意到事件A和B并不是互补的关系，因为在整个事件空间S中还有一个单位事件C，其即不是红色也不是黑色，而是绿色，因此A，B的补集应该分别表示如下：
一事件A在一事件B确定发生后会发生的概率称为B给之A的条件概率；其数值为
相关事例
人们普遍认为，对将要发生的机率的一种不好的感觉，或者说不安全感（俗称“点背”）是实际存在的。下面列出的几个例子可以形象阐述人们有时对机率存在的错误的认识：
（1）六合彩：在六合彩（49选6）中，一共有13983816种可能性，普遍认为，如果每周都买一个不相同的号，最晚可以在
（3）轮盘游戏：在游戏中玩家普遍认为，在连续出现多次红色后，出现黑色的机率会越来越大。这种判断也是错误的，即出现黑色的机率每次是相等的，因为球本身并没有“记忆”，它不会意识到以前都发生了什么，其机率始终是
（4）三门问题：在电视台举办的猜隐藏在门后面的汽车的游戏节目中，在参赛者的对面有三扇关闭的门，其中只有一扇门的后面有一辆汽车，其它两扇门后是山羊。游戏规则是，参赛者先选择一扇他认为其后面有汽车的门，但是这扇门仍保持关闭状态，紧接着主持人打开没有被参赛者选择的另外两扇门中后面有山羊的一扇门，这时主持人问参赛者，要不要改变主意，选择另一扇门，以使得赢得汽车的机率更大一些？
有三种可能的情况，全部都有相等的可能性(
计算
需要提及的是下面将要介绍的9个计算概率的定理与上面已经提及的事件的计算没有关系，所有关于概率的定理均由概率的3个公理得来，同时适用于包括拉普拉斯概率和统计概率在内的所有概率理论。
定理1
又称互补法则。
第一次旋转红色不出现的概率是
定理2
不可能事件的概率为零。
证明： Q和S是互补事件，按照公理2有
定理3
例如，在一次掷骰子中，得到5点或者6点的概率是：
定理4
如果事件A，B是差集关系，则有
定理5
任意事件加法法则：
对于事件空间S中的任意两个事件A和B，有如下定理：概率
定理6
乘法法则：
事件A，B同时发生的概率是：
定理7
无关事件乘法法则：
两个不相关联的事件A，B同时发生的概率是：注意到这个定理实际上是定理6(乘法法则)的特殊情况，如果事件A，B没有联系，则有
忽视这一定理是造成许多玩家失败的根源，普遍认为，经过连续出现若干次红色后，黑色出现的概率会越来越大，事实上两种颜色每次出现的概率是相等的，之前出现的红色与之后出现的黑色之间没有任何联系，因为球本身并没有"记忆"，它并不"知道"以前都发生了什么。
所以，连续10次至少有1次出现红色的概率为
统计概率
统计概率是建立在频率理论基础上的，分别由英国逻辑学家约翰(John Venn,1834-1923)和奥地利数学家理查德(Richard VonMises,1883-1953)提出，他们认为，获得一个事件的概率值的唯一方法是通过对该事件进行100次，1000次或者甚至10000次的前后相互独立的n次随机试验，针对每次试验均记录下绝对频率值和相对频率值hn(A)，随着试验次数n的增加，会出现如下事实，即相对频率值会趋于稳定，它在一个特定的值上下浮动，也即是说存在着一个极限值P(A)，相对频率值趋向于这个极限值。
这个极限值被称为统计概率，表示为：
例如，若想知道在一次掷骰子的随机试验中获得6点的概率值可以对其进行3000次前后独立的扔掷试验，在每一次试验后记录下出现6点的次数，然后通过计算相对频率值可以得到趋向于某一个数的统计概率值。
扔掷数 | 获得6点的绝对频率 | 获得6点的相对频率 |
1 | 1 | 1.00000 |
2 | 1 | 0.50000 |
3 | 1 | 0.33333 |
4 | 1 | 0.25000 |
5 | 2 | 0.40000 |
10 | 2 | 0.20000 |
20 | 5 | 0.25000 |
100 | 12 | 0.12000 |
200 | 39 | 0.19500 |
300 | 46 | 0.15333 |
400 | 72 | 0.18000 |
500 | 76 | 0.15200 |
600 | 102 | 0.17000 |
700 | 120 | 0.17143 |
1000 | 170 | 0.17000 |
2000 | 343 | 0.17150 |
3000 | 560 | 0.16867 |
上面提到的这个有关相对频率的经验值又被称为大数定律，是频率理论学家定义概率论的基础。然而没有人可以将骰子无限地扔下去，因此在实践中也就无法有力的证明大数定律，许多来自数学理论的论证至今也没有取得成功。尽管如此，统计概率在今天的实践中具有重要意义，它是数理统计的基础。
完全概率
n个事件
例如，一个随机试验工具由一个骰子和一个柜子中的三个抽屉组成，抽屉1里有14个白球和6个黑球，抽屉2里有2个白球和8个黑球，抽屉3里有3个白球和7个黑球，试验规则是首先掷骰子，如果获得小于4点，则抽屉1被选择，如果获得4点或者5点，则抽屉2被选择，其他情况选择抽屉3。然后在选择的抽屉里随机抽出一个球，最后抽出的这个球是白球的概率是：
从例子中可看出，完全概率特别适合于分析具有多层结构的随机试验的情况。
贝叶斯定理
贝叶斯定理由英国数学家贝叶斯(Thomas Bayes,1702-1761)发展，用来描述两个条件概率之间的关系，比如
一座别墅在过去的20年里一共发生过2次被盗，别墅的主人有一条狗，狗平均每周晚上叫3次，在盗贼入侵时狗叫的概率被估计为0.9，问题是：在狗叫的时候发生入侵的概率是多少？
人们假设A事件为狗在晚上叫，B为盗贼入侵，则
假设已经抽出红球为事件B，从容器A里抽出球为事件A，则有：
虽然概率论最早产生于17世纪，然而其公理体系却在20世纪的20至30年代才建立起来并得到迅速发展，在过去的半个世纪里概率论在越来越多的新兴领域显示了它的应用性和实用性，例如：物理、化学、生物、医学、心理学、社会学、政治学、教育学，经济学以及几乎所有的工程学等领域。
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