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函数解析式（函数的表达方式之一）

次浏览 | 更新时间：2023-05-22

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函数解析式

函数的表达方式之一

函数与函数解析式是完全不同的两个概念。

函数是指两个变量A与B之间，如果A随着B的每个值，都有唯一确定的值与之对应，那么A就是B的函数。从对应角度理解，有两种形式：

1、一对一，就是一个B值对应一个A值，反之，一个A值也对应一个B值（当然，此时B也是A的函数）。

2、一对多，就是多个B值对应一个A值。（此时一个A值对应多个B值，所以B不是A的函数）。

再说函数解析式，函数主要有三种表达方式：1、列表；2、图象；3、解析式（较常用）。因此函数解析式只是函数的一种表达方式。

基本信息

中文名	函数解析式
外文名	analytic expression
表达方式	列表；图象；解析式

简介

函数解析式（Analytic expression）

函数解析式与函数式相类似都是求出函数x与y的函数关系。在一次函数中就是求K值也就是它俩的关系。

常用函数的解析式:

一次函数

正比例函数（也是特殊的一次函数）

反比例函数

二次函数

注意：通俗地讲，函数反映的是两个变量直接的（变化）关系，严格地说，函数是两个数集之间的一种对应关系（映射）。而“规律”首先是一个（真）“命题”，而“命题”，在逻辑学指表达判断的语言形式，由系词把主词和宾词联系而成。例如：‘北京是中国的首都’，这个句子就是一个命题。在现代哲学、逻辑学、语言学中，命题是指一个判断（陈述）的语义（实际表达的概念），这个概念是可以被定义并观察的现象。命题不是指判断（陈述）本身。更进一步，“规律”是事物、现象和过程内在的、本质的必然的联系。定律(Laws) 研究宇宙间不变的事实规律所归纳出的结论，不同于理论、假设、定义、定理，是对客观事实的一种表达形式，通过大量具体的客观事实经验累积归纳而成的结论。与“函数”概念相去甚远，不应混淆。

另外，函数的“表达式”最好不要笼统的称为为“解析式”。因为很多函数并不解析（解析的概念在大学“复变函数”等课程中学习），为避免误用，最好成为“表达式”，这样更为妥当。

构成

主要有两部分构成：1、表达式；2、自变量的表达范围。例如：（1）

(2)

；显然函数（1）和函数（2）虽然表达式相同，由于自变量范围不同，所以是不同的两个函数。有时，函数书写过程中，存在省略自变量范围的形式：如：（3）

；(4)

；（5）

，这时它们的自变量范围就是使表达式有意义的自变量的值。（3）的自变量范围是：x为任意实数（注：这个概念我们默认在实数范围内讨论，下同）；（4）的自变量范围是：

；（5）·的自变量范围是：

。

概念思路分析

解释函数概念；函数就是根据运算规则，“算式中最少有两个互相影响的数值”，这两个数值称为(变量)。其中一个是“自变量”（X），为什么叫“自变量”呢？因为这个数值可控，我们通过改变它来改变另一个变量（Y），另一个变量（Y）由于是受这个自变量（X）改变而得到的，所以另一个变量(Y)称为这个自变量(X)的函数（在初中旧版教材中称Y为因变量）！为什么叫“函数”？看这个词的构成，“函”的意思是什么？

“函是不相隶属机关之间相互商洽工作、询问和答复问题”

这个解释正好又能解释到“映射”，“不相隶属机关”就是指这两个变量，它们两个之间相互工作，相互影响。映射这个定义实际是很容易解释的，由于讲的是一次函数，就不讲牵涉到的知识了。由“函”字的解释来看已经可以看出“函数”这个词足以代表这样一类的关系式，能看出自变量和函数之间的微妙的关系，所以就叫做“函数”了！咱们不管历史人物怎么起名为“函数”，只看咱们怎么理解为什么叫做函数。（分析仅供参考）

一次函数

这个一次函数是最简单情况(也称正比例函数)，这个

也就是关于“一个本子5毛钱，你买10个需要花多少钱。”这类问题的（常数K不能变，那肯定是本子价格，能变的是自变量X，也就是你要买的数量Y是最后掏的钱）。就是没有任何基础（在刚才这个问题中也就是说你在买本子前你需不需要付另外的钱，你总不会还没买本子你就要付多余的钱然后再付钱买本子吧？所以这个多余的钱这个在你买完本子后付钱就没有从那个基础上再付你买本子的钱），从开始就按照这个规律来走（也就是这一个本子5毛钱，10个本子应该5元钱这个规律），你就只控制X这一个来直接影响Y值，也就是函数值。

那如果是

就是你在买房子时你就要多付一个基础钱，实际按中介机构交易方式来比喻更容易理解，“好比你要买房子，你去找中介机构了，你得先给人家50元钱，这50元钱你给人家之后不管你最后到底买不买房子，你都得掏，不可要回，也就相当于你不买房了你也得给人家这个钱！这时你这个x也就是房子数量等于0也就是不买，你也得掏那50元中介费！

这个关系式是

的函数

。

函数关系式其实就是这么一回事，就是一个变量影响另一个变量这样的关系，用未知数来代替现实生活中某些附加存在的数据和一些可控的数据最终造成的数据。有些数据可能变化规则诡异，但是都是有规律的（因为一切万物都是按照规律进行的），再想想（分段函数），所以存在二次函数或者什么的。

函数解析式与函数式相类似都是求出函数x与y的函数关系。

常用函数的解析式:

（反比例函数）

思路分析

利用奇函数的性质考虑就可以了~

[解题过程]

首先，如果

，那么就没|有

。

所以如果

，那么就有

，那么根据“当x大于0时，

所以

。

还要注意：奇函数满足

，所以f(x)的解析式为：

时，

；

时，

；

时，

。

求解方法

[题型一]配凑法

例1.已知

，求f(x)。

分析：函数的解析式

是自变量x确定y值的关系式，其实质是对应法则f：x→y，因此解决这类问题的关键是弄清对“x”而言，“y”是怎样的规律。

解：

令

，则

小结：此种解法为配凑法，通过观察、分析，将右端“

”变为接受对象“

”的表达式，即变为含

的表达式，这种解法对变形能力、观察能力有一定的要求。

[题型二]换元法

例2.已知

，求f(x)。

分析：视

为一整体，应用数学的整体化思想，换元即得。

解：设

，

，则

故

。

小结：①已知f[g(x)]是关于x的函数，即

，求f(x)的解析式，通常令

，由此能解出

，将

代入

中，求得f(t)的解析式，再用x替换t，便得f(x)的解析式。

注意：换元后要确定新元t的取值范围。

②换元法就是通过引入一个或几个新的变量来替换原来的某些变量的解题方法，它的基本功能是：化难为易、化繁为简，以快速实现未知向已知的转换，从而达到顺利解题的目的。常见的换元法是多种多样的，如局部换元、整体换元、三角换元、分母换元等，它的应用极为广泛。

[题型三]待定系数法

例3.设二次函数f(x)满足

，且

的两实根平方和为10，图象过点(0，3)，求f(x)的解析式。

分析：由于f(x)是二次函数，其解析式的基本结构已定，可用待定系数法处理。

解：设

由

可知，该函数图象关于直线x=2对称

，即

……①

又图象过点(0，3)∴

……②

由方程

的两实根平方和为10，得

即

……③

由①②③解得

小结：我们只要明确所求函数解析式的类型，便可设出其函数解析式，设法求出其系数即可得到结果。类似的已知f(x)为一次函数时，可设

；f(x)为反比例函数时，可设

；f(x)为二次函数时，根据条件可设

①一般式：

②顶点式：

③双根式：

[题型四]消元法

例4.已知函数

满足

，其中a、b、c都是非零常数，

，求函数

的解析式。

分析：由于难以判断f(x)是何种类型的函数，故不可能先设出f(x)的表达式，但如果把条件中的x换成

，即

作为一个整体量，即可得到关于f(x)，

的方程组。。

解：在已知等式中，将x换成

，得

，把它与原条件式联立，得

得：

即：

问1.已知：方程：

的两根满足一个条件：一根大于k，一根小于k(k是实数)，求a的取值范围。(此题一种方法是图象法，还有一种方法，能告诉这两种方法吗？)

答：方法一：

图象为开口向上的抛物线，因此只需

即可。

，即

∴当

时，

；当

，

；当

时，a无解。

方法二：

只需

即可，

即

，以下同方法一。

问2.为什么求解时只需求

，而不需再求根的判别式是否大于0？

答：法二不需要验判别式，原因可以举个简单例子说明，如：若研究

两根满足：一个根大于0，一个根小于0，只需

恒成立。

参考资料

[1]

函数解析式 · 新浪[引用日期2017-11-07]

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