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素数定理（算术基本定理）

次浏览 | 更新时间：2023-05-22

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素数定理

算术基本定理

素数定理（prime number theorem）是素数分布理论的中心定理，是关于素数个数问题的一个命题：设x≥1，以π(x)表示不超过x的素数的个数，当x→∞时，π(x)～Li(x)或π(x)～x/ln(x)。（Li(x)为对数积分）

基本信息

中文名	素数定理
别名	质数定理
提出者	高斯和勒让德
提出时间	1948年
应用学科	数学
适用领域	数学应用
符号	O
外文名	the Prime Number Theorem(PNT)

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定理定义

素数定理是数论中的重要定理之一。指素数分布的中心定理。

下面是对

更好的估计：

, 其中

. 而关系式右边第二项是误差估计，详见大O符号。下表比较了

，

和

：

（如图所示）

素数定理可以给出第n个素数p(n)的渐近估计：

它也给出从整数中抽到素数的概率。从不大于n的自然数随机选一个，它是素数的概率大约是

。这定理的式子于1798年法国数学家勒让德提出。1896年法国数学家哈达玛(JacquesHadamard)和比利时数学家普森(Charles Jean de la Vallée-Poussin)先後独立给出证明。证明用到了复分析，尤其是黎曼ζ函数。因为黎曼ζ函数与π(x)关系密切，关于黎曼ζ函数的黎曼猜想对数论很重要。一旦猜想获证，便能大大改进素数定理误差的估计。1901年瑞典数学家Helge von Koch证明出，下式与黎曼猜想等价：

至于大O项的常数则还未知道。

在1948年, 塞尔伯格和保罗·埃尔德什首次给出素数定理的初等证明。

定理内容

下面是对

更好的估计:

。其中，

，是误差估计，详见大O符号。下表比较了

和

：

x	π(x)	π(x) - x/ln(x)	Li(x) - π(x)	x/π(x)
10	4	0	2	2.500
10	25	3	5	4.000
10	168	23	10	5.952
10	1229	143	17	8.137
10	9592	906	38	10.430

展开表格

素数定理可以给出第n个素数

的渐近估计：

。它也给出从整数中抽到素数的概率。从不大于n的自然数随机选一个，它是素数的概率大约是

。

发展历史

大约在1792年，高斯（即约翰·卡尔·弗里德里希·高斯，Johann Carl Friedrich Gauß）经过深入分析和例证，对素数分布提出猜测：。但高斯未将自己的猜测公诸于世。1798年，法国数学家勒让德（即阿德利昂·玛利·埃·勒让德，Adrien-Marie Legendre）的《论数论》（Essay on the Theory of Numbers）出版。书中，勒让德在自己所作的某些素数计算的基础上猜想：。其中，常数A和常数B待定。1808年，勒让德把这个猜想改进为。显然，高斯和勒让德提出的渐进公式是等阶的，实际上都等同于猜想（不过高斯更深刻和精确），即素数定理。

之后，俄国数学家切比雪夫（即帕夫努季·利沃维奇·切比雪夫，ПaфHутий Лbвович Чебышев）证明：存在两个正常数

和

，使不等式对充分大的x成立，并且相当精确地定出了

和

的数值。他还证明，如果的极限存在，则必定是1。

1896年，阿达马（即雅克·所罗门·阿达马，Jacques Solomon Hadamard，1865年－1963年）和德·拉·瓦莱布桑（Charles-Jean de la Vallée Poussin）按照波恩哈德·黎曼（B. Riemann）的思路，各自独立地利用高深的整函数理论证明了素数定理。

1949年，塞尔伯格（即阿特勒·塞尔伯格，Atle Selberg）和埃尔德什（即保罗·埃尔德什，Paul Erdős）分别独立地证明了素数定理。与以往证明不同的是，他们没有用到ζ函数，而且除了极限、和的简单性质外，没有用到任何高等数学知识，甚至连微积分都没用到。可以说，他们给出的是一个完全“初等”的证明，这一结果轰动了整个数学界。〔后来有人用代替，用代替（

），给出了一个连指数、对数函数都不需要的初等证明。〕塞尔伯格由于这项成就及其他工作而获得了菲尔兹奖，埃尔德什则与陈省身一起获得了沃尔夫数学奖。

初等证明

素数定理有些初等证明只需用数论的方法。第一个初等证明由1949年由匈牙利数学家保罗·厄多斯（另译埃尔德什、艾狄胥、“爱尔多斯”，或“爱尔多希”）和挪威数学家阿特利·西尔伯格合作得出。在此之前

一些数学家不相信能找出不需借助艰深数学的初等证明。像英国数学家哈代便说过素数定理必须以复分析证明，显出定理结果的「深度」。他认为只用到实数不足以解决某些问题，必须引进复数来解决。这是凭感觉说出来的，觉得一些方法比别的更高等也更厉害，而素数定理的初等证明动摇了这论调。Selberg－艾狄胥的证明正好表示，看似初等的组合数学，威力也可以很大。但是，有必要指出的是，虽然该初等证明只用到初等的办法，其难度甚至要比用到复分析的证明远为困难。

验证推导

除2、3之外，所有

都可置于一条坐标上，将

分布在左边，那么中心点为1，右侧为

。反正则中心点为-1。坐标上的每个数字产生一条波形，未被覆盖的点就是素数。波长等于数字自身。

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